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By Professor Dr. Hans Grauert, Professor Dr. Wolfgang Fischer (auth.)

ISBN-10: 3540086978

ISBN-13: 9783540086970

ISBN-10: 3642812341

ISBN-13: 9783642812347

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1 x~O»)Ll,,(~) (I) geniigen. - Die Funktion f heifJt auf ganz M differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von M differenzierbar ist. Die Differenzierbarkeit von f in ~o hiingt nur von dem Verhalten von f in einer (beliebig kleinen) Umgebung von ~o abo AuBerhalb einer solchen Umgebung kann man niimlich stets Lll' ... , Ll n so definieren, daB (I) erfUIlt ist - es werden dort ja keine Stetigkeitsforderungen gesteIlt. Differenzierbarkeit ist also eine lokale Eigenschaft. 2. Es sei f auf M definiert und in ~o E M differenzierbar.

5. ) von reellen Funktionen betrachten, welche alle den gemeinsamen Definitionsbereich Me JR,n haben. 1. ;)) konvergent ist. ; --7 lim fAW definiert auf Meine Funktion F, A->OO die Grenzfunktion der Folge (fA)' Wir schreiben fA --7 F. Schon der eindimensionale Fall zeigt, daB etwa zur Untersuchung der Stetigkeit der Grenzfunktion einer konvergenten Folge stetiger Funktionen der obige Konvergenzbegriff nicht scharf genug ist. 2. ;) I < B. Die gleichmaBige Konvergenz zieht offen bar die gewohnliche nach sich.

Beweis. Es sei r > 0 so, daB {~z} c Qr gilt. Wir nehmen an, daB (~d keinen Haufungspunkt in Qr hat. Dann gibt es zu jedem t) E Qr eine offene Umgebung V (t)), die hochstens endlich viele Glieder del' Folge (~z) enthalt. 1 gibt es endlich viele Punkte 1)1, ... , I)m E Qr so, daB Qr schon in 'In U V (t),u) enthalten ist. Da in 1'~1 jedem V (t),u) hOchstens endlich viele Glieder von (~z) liegen, konnen auch in Qr nur endlich viele Glieder liegen. Das ist abel' ein Widerspruch. 3. h. alle Glieder bi8 auf endlich viele) der Folge enthalten 8ind.

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by Brian
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